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Jun 13, 2024

npj Computational Materials Band 6, Artikelnummer: 115 (2020) Diesen Artikel zitieren

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Materialien unter komplexer Belastung entwickeln große Spannungen und häufig eine Phasenumwandlung über eine elastische Instabilität, wie sie sowohl in einfachen als auch in komplexen Systemen beobachtet wird. Hier stellen wir ein Material (am Beispiel von Si I) unter großen Lagrange-Spannungen innerhalb einer Kontinuumsbeschreibung durch eine elastische Energie 5. Ordnung dar, die durch Minimierung des Fehlers relativ zu den Ergebnissen der Dichtefunktionaltheorie (DFT) ermittelt wird. Die Cauchy-Spannungs-Lagrange-Dehnungskurven für beliebige komplexe Belastungen stimmen hervorragend mit den DFT-Ergebnissen überein, einschließlich der elastischen Instabilität, die die Si I → II-Phasenumwandlung (PT) antreibt, und der Scherinstabilitäten. Die PT-Bedingungen für Si I → II unter Einwirkung kubischer Axialspannungen sind in Cauchy-Spannungen in Übereinstimmung mit DFT-Vorhersagen linear. Eine solche elastische Kontinuumsenergie ermöglicht die Untersuchung elastischer Instabilitäten und Orientierungsabhängigkeiten, die zu unterschiedlichen PTs, Schlupf, Zwillingsbildung oder Brüchen führen, und stellt eine grundlegende Grundlage für kontinuumsphysikalische Simulationen des Kristallverhaltens unter extremer Belastung dar.

Nichtlineare, anisotrope elastische Eigenschaften von Einkristallen bestimmen die Materialreaktion auf extreme Belastungen, z. B. in Stoßwellen, unter hohem statischen Druck sowie in defektfreien Kristallen und Nanoregionen. Elastische Nichtlinearität führt letztendlich zu elastischen Gitterinstabilitäten1,2,3,4,5,6. Solche Instabilitäten bestimmen verschiedene Phänomene, darunter insbesondere Phasenübergänge (PT, d. h. Kristall-Kristall7,8,9,10, Amorphisierung11,12,13,14,15 und Schmelzen16,17), Gleiten, Zwillingsbildung und Bruch. theoretische Festigkeit bei Zug, Druck oder Scherung3,4,5,18,19,20. Darüber hinaus sind nichtlineare elastische Eigenschaften für Kontinuumssimulationen des Materialverhaltens unter extremen statischen21 oder dynamischen22,23 Belastungen und in der Nähe von Grenzflächen mit erheblicher Gitterfehlanpassung erforderlich.

Bemerkenswerterweise sind für verschiedene Kristalle elastische Konstanten dritter Ordnung24,25,26 und selten vierter Ordnung27,28 bekannt, die bei kleinen Dehnungen (z. B. 0,02–0,03) bestimmt werden. Daher sollten elastische Konstanten vierter Ordnung „nur als Schätzung behandelt werden“, z. B. für Si28. Die Extrapolation auf große Spannungen ist zur Beschreibung der Gitterinstabilität unzuverlässig (z. B. bei 0,2 für Si10 oder 0,3–0,4 für B4C29,30). Um die Elastizität, einschließlich etwaiger Gitterinstabilität, korrekt zu beschreiben, sind daher elastische Energien höherer Ordnung erforderlich, die für einen Spannungsbereich einschließlich Gitterinstabilität kalibriert werden müssen. Für einige Belastungen werden Spannungs-Dehnungs-Kurven bei endlichen Belastungen erhalten4,5,10,18,19,29,30,31, diese reichen jedoch nicht aus, um das Verhalten von Materialien zu simulieren oder Gitterinstabilitäten unter beliebigen komplexen Belastungen zu beschreiben.

Hier wurde die elastische Energie fünften Grades für Si I (kubische Diamantphase, Raumgruppe Fd3m) unter großer Dehnung anhand der Lagrange-Dehnungen (alle 6 unabhängigen Komponenten) bestimmt, indem der Fehler in Bezug auf die Ergebnisse der Dichtefunktionaltheorie (DFT) minimiert wurde große Dehnungsbereiche, die Instabilitätspunkte umfassen. Die Cauchy-Spannungs-Lagrange-Dehnungskurven für mehrere komplexe Belastungen stimmen hervorragend mit den DFT-Ergebnissen überein, einschließlich der elastischen Instabilität, die den PT zu Si II (β-Zinn-Struktur, Raumgruppe I41/amd) treibt, und Scherinstabilitäten. Die Bedingungen für Si I → Si II PT unter Einwirkung kubischer Axialspannungen sind bei Cauchy-Spannungen linear, wie durch DFT vorhergesagt. Wichtig ist, dass Energie niedrigerer Ordnung bei der Beschreibung von Spannungs-Dehnungs-Kurven und elastischen Instabilitäten keine vergleichbare Präzision liefern kann. Die gewonnene elastische Energie eröffnet die Möglichkeit, alle elastischen Instabilitäten zu untersuchen, die zu unterschiedlichen PTs, Bruch, Schlupf und Zwillingsbildung führen, und stellt eine grundlegende Grundlage für Kontinuumssimulationen des Kristallverhaltens unter extremer statischer und dynamischer Belastung dar, einschließlich aller oben genannten Prozesse und ihrer Orientierungsabhängigkeit .

Silizium I findet als halbleitendes Material breite Anwendung in der Elektronik, Solarzellen und elektromechanischen Nano-/Mikrosystemen. Die Kenntnis der Regeln der Plastizität und des Transformationsverhaltens ist ein wichtiger Bestandteil zur Gewährleistung der mechanischen Reaktion und Lebensdauerzuverlässigkeit elektronischer Geräte unter Kontaktbelastung. Die Volumenhärte der halbleitenden Si I-Phase beträgt 12 GPa; Solche Belastungen verursachen plastisches Fließen und verschiedene Hochdruck-PTs. Die Bearbeitung eines spröden halbleitenden Si I geht mit der Ausbreitung von Mikrorissen innerhalb der Masse einher. Durch die Verwendung verformungsinduzierter PTs für duktiles metallisches Si II und amorphes Si während der Bearbeitung können duktile Bearbeitungsmodi realisiert und optimiert werden32. Dadurch kann auch die Notwendigkeit der Verwendung chemischer Zusätze während der Bearbeitung entfallen, was durch die Reduzierung der Umweltverschmutzung eindeutige Vorteile für die Umwelt mit sich bringt.

Die kubische Diamantstruktur von Si I kann durch den Transformationsverformungsgradienten mit nur diagonalen Komponenten, Druck –0,486 und zwei gleichen Zugkräften von 1,243, und kleinen Verschiebungen in die tetragonale β-Zinnstruktur von Si II umgewandelt werden10. Somit kann diese Umwandlung martensitisch erfolgen, jedoch mit großen Fehlanpassungsdehnungen, die eine Entspannung erfordern, die die Kinetik der Umwandlung bestimmt. Unter quasi-hydrostatischen Bedingungen und Eindringung bei Raumtemperatur erfolgt die Phasenumwandlung Si I → Si II im Bereich von 9–16 GPa33. Die Temperatur T beeinflusst den Phasengleichgewichtsdruck zwischen Si I und Si II nur schwach; Abhängig von verschiedenen Literaturquellen erhöht oder verringert es den Gleichgewichtsdruck geringfügig34. Außerdem verringert eine Temperaturerhöhung die Differenz zwischen dem Phasengleichgewichtsdruck und dem Druck für die Phasenumwandlung Si I → Si II. Beachten Sie, dass es für Si I experimentell ermittelte Daten zur Temperaturabhängigkeit der elastischen Konstanten zweiter Ordnung von 0 K bis zur Schmelztemperatur35,36 sowie Ergebnisse reaktiver Molekulardynamiksimulationen36 gibt. Der Einfluss der Temperatur ist relativ schwach. Aufgrund der hohen Frequenzen (≈12–16 THz) optischer Phononen wird auch eine schwache T-Abhängigkeit erwartet37. Die Temperaturabhängigkeit aller elastischen Konstanten bis zur fünften Ordnung kann mithilfe der Ab-initio-Molekulardynamik bestimmt werden, siehe z. B. Lit. 38,39,40.

Die Si I → Si II-Umwandlung ist irreversibel. Bei langsamer Entladung wandelt sich Si II in Si XII (rhomboedrische Struktur r8, Raumgruppe \(R\bar{3}\)) und dann in eine Mischung aus Si XII und Si III (bcc b8-Struktur, Raumgruppe \(Ia\bar) um {3}\)) unter quasi-hydrostatischen Bedingungen und Eindringung. Bei schneller Dekompression wandelt sich Si II unter hydrostatischen Bedingungen in Si IX (tetragonale st12-Struktur, Raumgruppe P63/mmc) und nach der Einkerbung in amorphes Si um. Unter plastischer Scherung in rotierenden Diamantambossen erfolgt die Phasenumwandlung Si I → Si III bei 3–4 GPa und Si III → Si II bei 5,4 GPa34. Daher können große Scherspannungen und plastische Verformung während der Reibung, des Schneidens und Polierens die gewünschte halbleitende Si I-Phase unter Druck oder Normalspannungen, die weit unter den traditionell akzeptierten 10–12 GPa liegen, in andere Phasen umwandeln. Außerdem wurden die Bedingungen für Halbleiter-Metall-Übergänge unter komplexer triaxialer Belastung durch DFT-Simulationen in Lit. bestimmt. 10.

Aufgrund der technologischen Bedeutung wurden die Verformungs- und PT-Eigenschaften von Silizium intensiv untersucht. Die elastischen Konstanten dritter Ordnung wurden mit DFT24,25 und Experimenten41,42 gefunden; elastische Konstanten höherer Ordnung wurden jedoch nicht angegeben. Die Gitterinstabilität unter zweiparametrischen Belastungen wurde in Lit. untersucht. 4,5,18,19. Gitterinstabilitätsbedingungen, die den Si I → II PT unter Einwirkung des Cauchy-Spannungstensors (6 unabhängige Spannungen) antreiben, und entsprechende Transformationspfade wurden in Lit. erhalten. 8,10, unter Verwendung von Vorhersagen aus dem Phasenfeldansatz43.

Die Bewegung eines elastischen Körpers wird durch die Vektorfunktion xi(Xj, t) beschrieben, wobei t die Zeit ist und xi (verformt) und Xj (unverformter Referenzzustand) die kartesischen Koordinaten des Positionsvektors in einem natürlichen kubischen Koordinatensystem sind. Der Verformungsgradient und die Lagrange-Verzerrung sind dann Fij = ∂xi/∂Xj und \({\eta }_{ij}=\frac{1}{2}({F}_{ki}{F}_{kj} -{\delta }_{ij})\), wobei δij das Kronecker-Delta ist und die Einstein-Summenschreibweise angenommen wird. Unter Verwendung der Voigt-Notation, dh ηii → ηi (für i = 1, 2, 3) und η23 → η4/2, η31 → η5/2 und η12 → η6/2, beträgt die spezifische innere Energie pro unverformter Volumeneinheit wie folgt eine Potenzreihenerweiterung:

wobei die cs Elastizitätsmodule zweiter, dritter, vierter, fünfter und höherer Ordnung sind. Für Kristalle mit kubischer Symmetrie gilt Gl. (1) wird in kubischen Achsen mit 3 Modulen zweiter, 6 dritter, 11 vierter und 18 fünfter Ordnung44 angegeben, hier mithilfe der DFT gefunden. Unter der Annahme der Nullenergie für den spannungsfreien Fall, also u0 = 0, und

in welchem

Alle nichttrivialen Terme in Gl. (3)–(6) werden auf die gleiche Weise bestimmt: Man nimmt allgemeine Polynomausdrücke als Ausgangspunkt und wendet dann alle bekannten Symmetrieoperationen für das kubische Gitter an.

Die zweite Piola-Kirchhoff-Spannung (PK2) und die wahre Cauchy-Spannung sind definiert als

Wir haben DFT-Simulationen durchgeführt, die unsere Simulationen in Lit. ergänzen. 10, insbesondere für Scherbeanspruchungen und komplexe kombinierte Druck-Scher-Beanspruchungen. Das Verfahren zur Parameteridentifizierung wird durchgeführt und die Ergebnisse werden im natürlichen kubischen Koordinatensystem dargestellt.

Anstatt einen bestimmten Satz von Elastizitätsmodulen aus den unterschiedlichen Verformungen zu bestimmen27,45, ermitteln wir alle Elastizitätsmodule durch die Regression der kleinsten Quadrate unter Verwendung aller uns vorliegenden DFT-Daten. Der Fehler Z ist eine gewichtete Summe zweier Terme, die sich auf die Energie- und PK2-Spannungen beziehen:

Hier bezeichnen Parameter ohne hochgestellte 0 Ergebnisse aus ungefähren Gleichungen. (1) und (7) sowie diejenigen mit hochgestellter 0 stammen aus der DFT; Summierung über k bedeutet Summation über alle Sätze von Verformungsgradienten und entsprechenden Energien uk und Komponenten der PK2-Spannungen \({S}_{i}^{k}\), für die DFT-Simulationen durchgeführt wurden, M ist die Anzahl von Ergebnismengen von DFT-Simulationen und w ist der Gewichtsfaktor.

Angepasste Elastizitätsmodule für Dehnungen ηi < 0,35 sind in den Tabellen 1 und 2 aufgeführt. Die Elastizitätsmodule zweiter und dritter Ordnung werden auch für kleine Dehnungen ηi < 0,05 berechnet, um sie mit anderen DFT-Ergebnissen24 und Experimenten41,42 bei Raumtemperatur zu vergleichen. Unsere Ergebnisse (obwohl bei 0 K durchgeführt) stimmen hervorragend mit Experimenten überein, liegen innerhalb eines experimentellen Fehlers und sind besser als in Lit. 24, was unsere DFT-Simulationen validiert. Für die Elastizitätsmodule vierter und fünfter Ordnung gibt es keine entsprechenden Parameter aus Experimenten und Berechnungen, mit denen man sie vergleichen könnte. Da unser Hauptaugenmerk auf der großen Dehnung und einer elastischen Instabilität liegt, tolerieren wir kleine Abweichungen zwischen den Konstanten zweiter und dritter Ordnung, die wir für große Dehnungen ηi < 0,35 verwenden, und den entsprechenden Werten bei kleinen Dehnungen. Andernfalls wird der Unterschied zwischen den Spannungs-Dehnungs-Kurven der elastischen Energie und der DFT bei großer Dehnung schlechter, und es wird die Energie sechster Ordnung benötigt. Unser Kontinuumsmodell berücksichtigt Elastizität und akustische Phononen, ignoriert jedoch optische Phononenmoden, die bei T > 575 K für ≈12 THz-Schwingungen in der Nähe von L und X und bei T > 750 K für die 16 THz optischen Phononenanregungen bei Γ37 wichtig werden.

Der Vergleich der Energiekonturen aus der elastischen Energie und der DFT ergibt die Dehnungsebene \({\eta }_{1}^{\prime}={\eta }_{2}^{\prime}\) und η3 ist in Abb. 1a angegeben (\({\eta }_{1}^{\prime}={\eta }_{2}^{\prime}\) werden um 45° um das Koordinatensystem der Achse 3 gedreht, als in der DFT-Elementarzelle). Das spannungsfreie Si I aus der elastischen Näherung hat Gitterparameter a1 = 3,89 Å, c1 = 5,47 Å, innerhalb von 1 % der DFT-Ergebnisse (a1 = 3,8653 Å, c1 = 5,4665 Å) und nahe am empfohlenen Wert von 5,431 020 511 (89) Å46. Der Sattelpunkt (SP: \({\eta }_{1}^{\prime}\) = 0,1777 und η3 = −0,2584) hat eine Energie von 3,2976 J/mm3 gegenüber 3,2893 J/mm3 aus der DFT. Die Fähigkeit, den SP nachzugeben, ist entscheidend für die Erfassung der elastischen Instabilitäten, die den PT antreiben. Darüber hinaus sind in Abb. 1b die Gradienten der elastischen Energie in der \({\eta }_{1}^{\prime}-{\eta }_{3}\)-Ebene (mit Komponenten gleich den PK2-Spannungen \( {S}_{1}^{\prime}={S}_{2}^{\prime}\) und S3) aus der nichtlinearen elastischen Näherung stimmen gut mit denen aus der DFT überein. Die Abweichungen zwischen den Analyseergebnissen und der DFT sind recht gering. Beachten Sie, dass wir nicht darauf abzielten, Punkte weit vom SP in Richtung Si II anzupassen, da diese an die elastische Energie für Si II angepasst werden sollten.

a elastische Energie fünfter Ordnung und b Energiegradienten in der \({\eta }_{1}^{\prime}={\eta }_{2}^{\prime}\) – η3-Ebene. Komponenten von Gradienten sind PK2-Spannungen \({S}_{1}^{\prime}={S}_{2}^{\prime}\) und S3.

Wir vergleichen die Cauchy-Spannungskurven σ3–η3 für verschiedene feste Seitenspannungen σ1 = σ2 entlang des Pfades in Richtung Si I → Si II PT (Abb. 2). Entsprechende Transformationspfade in der (η1 = η2, η3)-Ebene werden iterativ mithilfe der Newton-Methode sowohl für elastische Energie- als auch für DFT-Simulationen ermittelt und sind in Abb. 3 dargestellt.

Von ref. 10 führen solche Instabilitäten und Pfade zu Si II. DFT (Kreise) und elastische Energie (Dreiecke) bezeichnen Ergebnisse mit maximalem σ3. Die hervorragende Übereinstimmung zwischen elastischem Potential und DFT ist offensichtlich.

Die „hydrostatische“ Linie bezeichnet den Belastungspfad für σ1 = σ2 = σ3.

Aus den Abbildungen geht klar hervor. Aus den Abbildungen 2 und 3 geht hervor, dass die elastische Energie fünfter Ordnung die Belastungspfade und Spannungs-Dehnungs-Kurven aus DFT-Berechnungen für 0 ≤ −η3 ≤ 0,3 korrekt erfasst, einschließlich Spitzenpunkten der Spannungs-Dehnungs-Kurven, die elastischen Instabilitäten entsprechen. Wir verwenden die gleiche Definition wie in Ref. 10: Eine elastische Gitterinstabilität bei der vorgeschriebenen wahren Spannung σ tritt bei Spannungen auf, oberhalb derer der Kristall nicht mehr im Gleichgewicht sein kann. Zur Bestimmung der elastischen Instabilität von Si I genügen nichtlineare elastische Eigenschaften. Um jedoch den endgültigen stabilen oder metastabilen Zustand zu finden, in den sich das System entwickelt, muss man die Positionen anderer lokaler Energieminima und die elastischen Eigenschaften entsprechender Phasen oder Zustände bestimmen und den Übergangsprozess beispielsweise mithilfe von Ab-initio-Molekülen modellieren dynamische (MD) Simulationen. So heißt es in Lit. 10 haben wir die PT-Bedingungen und Transformationspfade für Si I → Si II PT gefunden, die hier verwendet werden. Alle Spannungs-Dehnungs-Kurven in Abb. 2 sind glatt, mit Ausnahme der für hydrostatische Belastung. Bei nichthydrostatischer Belastung setzt das elastisch verzerrte tetragonale Gitter von Si I nach dem Instabilitätspunkt die Umwandlung in tetragonales Si II fort. Bei hydrostatischer Belastung wird jedoch eine primäre isotrope Verformung von kubischem Si I instabil gegenüber einer sekundären tetragonalen Störung, die zu Si II führt. Eine solche Verzweigung des Verformungspfades führt zu einer Diskontinuität der ersten Ableitung am Instabilitätspunkt. Diese Gabelung und der Steigungssprung werden in Abb. 2 korrekt erfasst.

Durch die Kombination von Gitterinstabilitätspunkten aus DFT und elastischer Energie stellen wir das Gitterinstabilitätskriterium in Form des kritischen Werts A der modifizierten Transformationsarbeit dar:

Hier sind εt1 = εt2 = 0,243 und εt3 = −0,514 Transformationsspannungen, die das spannungsfreie Kristallgitter von Si I in das spannungsfreie Gitter von Si II abbilden, und b1 und b3 sind modifizierende Konstanten. Dieses Kriterium wurde in Lit. abgeleitet. 8,9,43 über das Phasenfeld und wurde sowohl durch Molekulardynamiksimulation unter Verwendung des Tersoff-Potentials8 als auch durch DFT-Simulationen10 verifiziert und quantifiziert. Instabilitätslinien können durch σ3 = 0,4144(σ1 + σ2) − 10,9121 für nichtlineare Elastizität und durch σ3 = 0,4066(σ1 + σ2) − 11,4493 für DFT-Ergebnisse angenähert werden, siehe Abb. 4. Somit hat sich hier unsere elastische Energie fünfter Ordnung entwickelt reproduziert erfolgreich die in der DFT gefundene Gitterinstabilität über einen Bereich von 0,5(σ1 + σ2) ⊂ [−73,8; 16]. Der starke Einfluss der nichthydrostatischen Spannungen auf die Gitterinstabilität ist offensichtlich: Der Transformationsdruck unter hydrostatischer Belastung beträgt ~75 GPa und die Transformationsspannung σ3 unter einachsiger Belastung beträgt ~11 GPa (oder eine mittlere Spannung von 3,7 GPa).

Der Einschub zeigt die gleichen Instabilitätspunkte aus der elastischen Energie fünfter Ordnung (Kreise) im 3D-Raum σ1, σ2 und σ3, die sehr nahe an der mit DFT kalibrierten Instabilitätsebene in Lit. liegen. 10.

Scherspannungs-Dehnungs-Kurven für einfache Scherungen (ohne Normaldehnungen) und für komplexe Belastungen (Scherung plus Normaldehnungen) sind in Abb. 5 dargestellt. Die elastische Scherinstabilität beginnt bei 12,84 GPa (DFT: 12,97) für Einzelscherung und verringert sich auf 10,7 GPa (DFT: 11) für Doppelscherung (η4 = η5) und dann auf 8,71 GPa (DFT: 8,56) für Dreifachscherung, weniger als 3 % Fehler mit DFT für Dehnungen jenseits der Instabilitätspunkte. Aufgrund der Symmetrie in Bezug auf den Vorzeichenwechsel gibt es für Scherung weniger elastische Konstanten ungleich Null als für normale Dehnungen; für Einzelscherung η4 ist c444 = c44444 = 0 und der dritte und fünfte Grad von η4, η5 und η6 fehlen. Erwartungsgemäß wächst die Abweichung der elastischen Näherung von der DFT für Dehnungen jenseits der Scherinstabilitätspunkte viel schneller als für normale Dehnungen in Abb. 2. Dies ist nicht kritisch, da bei instabilen Zweigen eine Phasenumwandlung auftritt, die besser durch den Ordnungsparameter beschrieben wird47. 48. In einer Molekulardynamiksimulation15 mit einem Stillinger-Weber-Potential49 wurde die Instabilität für einfache Scherung entlang \(<\bar{11}2>\) in der \(\left(111\right)\)-Ebene und entlang der \(< 111>\) in der \(\left(1\bar{1}0\right)\)-Ebene führen zur Amorphisierung.

a Für einfache, doppelte und dreifache Scherdehnungen (η1 = η2 = η3 = 0); b Kombination aus Normal- und Scherdehnungen (alle nicht genannten Dehnungen sind Null). Die Energie fünfter Ordnung beschreibt DFT-Ergebnisse gut, einschließlich Scherinstabilitäten.

Beachten Sie, dass Doppel- und Dreifachscherungen entlang \(<100>\) in der \(\left(001\right)\)-Ebene in Abb. 5a Einzelscherungen in \(<110>\) in der \(\left)-Ebene darstellen (001\right)\) Ebene mit \({\eta }_{4}^{\prime}=\sqrt{2}{\eta }_{4}\) und triaxialer Normaldehnungsbelastung in \(< 111>\) und in der \(\left(111\right)\)-Ebene mit \({\eta }_{1}^{\prime}=2{\eta }_{4}\) und \( {\eta }_{2}^{\prime}={\eta }_{3}^{\prime}=-{\eta }_{4}\). Anschließend können die Kurven in Abb. 5a im Hinblick auf den Effekt der kristallographischen Anisotropie analysiert werden. Im Allgemeinen kann man durch Drehen des Koordinatensystems und entsprechende Transformation der elastischen Energie den Effekt der Anisotropie für eine beliebige komplexe Belastung untersuchen.

Für die Scherung in Kombination mit Drucknormaldehnungen (Abb. 5b) werden die DFT-Ergebnisse durch unsere elastische Energie noch besser beschrieben als nur für die Scherung, dh mit geringerer Abweichung für größere Dehnungen sogar über 0,35. Interessanterweise erhöht die Überlagerung einer einachsigen Kompression η1 = −0,5η4 orthogonal zur Scherebene in Abb. 5b die endgültige (theoretische) Scherfestigkeit geringfügig, verringert jedoch die entsprechende Scherdehnung im Vergleich zu Abb. 5a geringfügig. Gleichzeitig verringert die überlagerte einachsige Kompression η2 = −0,5η4 in der Scherrichtung η4 die maximale Scherfestigkeit um ~2 GPa, erhöht jedoch die entsprechende Scherdehnung. Die Überlagerung der biaxialen Kompression η1 = η2 = −0,5η4 reduziert die ultimative Scherfestigkeit weiter auf 6,77 GPa (6,79 aus DFT) mit entsprechender Scherdehnung zwischen zwei vorherigen Fällen. Die Form der Scherspannungs-Dehnungs-Kurven ändert sich auch bei Überlagerung verschiedener Druckspannungen. Außerdem verringert die Überlagerung der isotropen Kompression η1 = η2 = η3 = −0,5η4 = −0,5η5 = −0,5η6 auf die Dreifachscherung die maximale Scherfestigkeit von 8,71 GPa (8,56 aus DFT) in Abb. 5a auf 4,4 GPa (4,31 aus DFT). in Abb. 5b und reduziert auch die entsprechende Scherspannung stark. Die Tendenz zur Verringerung der Scherstabilität unter hydrostatischer Belastung in Kombination mit dem Vorhandensein von Versetzungen mit lokalen Spannungskonzentratoren kann zu einer experimentell beobachteten druckinduzierten Amorphisierung führen50. Die beobachtete Kopplung zwischen Scher- und Normalspannungen ist sehr nicht trivial und gut erfasst. Typischerweise führen Scherinstabilitäten nicht zu Si II, sondern zu möglicher Amorphisierung, hexagonalem Diamant-Si IV, Schlupf oder Zwillingsbildung.

Beachten Sie, dass das Vorhandensein des Plateau-ähnlichen Abschnitts in den Spannungs-Dehnungs-Kurven für Diamant in Lit. geprägt wurde. 51 als „atomare Plastizität“ und galt als Indikator für die gewünschte Kombination aus hoher Festigkeit und ausreichender Duktilität. Eine solche atomare Duktilität wird für Si unter Druck beobachtet (Abb. 2a), nicht jedoch unter Scherung (Abb. 5a). Allerdings erhöht die Überlagerung bestimmter Normaldehnungen (z. B. η2 = −0,5η4 und insbesondere η1 = η2 = −0,5η4) das Plateau erheblich.

DFT-Simulationen können auf Systeme mit bis zu 104 Atomen und einer Größe von bis zu 10 nm angewendet werden. Klassische interatomare Potentiale, die in Molekulardynamiksimulationen verwendet werden, behandeln Systeme mit bis zu 108 Atomen mit einer Größe von bis zu 1 Mikrometer. Sie erfordern eine Kalibrierung auf der Grundlage von DFT-Simulationen und/oder Experimenten. Kontinuumstheorien und Simulationen sind auf Proben mit einer Größe von mehreren Nanometern (z. B. für den Phasenfeldansatz für Phasenumwandlungen in Nanopartikeln und oberflächeninduzierten Phänomenen52,53) und ohne Obergrenze anwendbar. Die nichtlineare Elastizität basierend auf den Elastizitätskonstanten zweiten und dritten Grades wird sogar für einschichtiges Graphen54,55 bestimmt. Kontinuumstheorien basieren auf den konstitutiven Gleichungen, die jedes einzelne Phänomen und seine Wechselwirkungen beschreiben und mithilfe von DFT- oder MD-Simulationen, Experimenten und mehrskaliger Kontinuums- oder atomistischer Kontinuumsmodellierung kalibriert werden. Finite-Elemente-Methode (FEM), Finite-Differenzen- und Spektralmethoden werden hauptsächlich zur Lösung physikalischer und technischer Großprobleme mit heterogenen und komplexen Feldern eingesetzt.

Elastische Energie in Form von Komponenten eines elastischen Dehnungstensors und entsprechenden Spannungs-Dehnungs-Kurven ist der Hauptbestandteil jeder Kontinuumstheorie, die sich mit der Mechanik befasst. Es gibt viele Fälle, in denen die elastischen Dehnungen endlich sind, also 0,1 überschreiten. Für sie sollte eine nichtlineare Elastizität höherer Ordnung verwendet werden; In vielen Fällen sollte die nichtlineare Elastizität auch bei viel kleineren Dehnungen (0,01–0,0324,25,26,27,28) verwendet werden. Unter extremer Belastung, z. B. in Stoßwellen22,23 und unter hohem statischen Druck21, ist die volumetrische Dehnung groß und da die Streckgrenze bei Scherung mit dem Druck erheblich zunimmt, sind auch Scherdehnungen oder deviatorische elastische Dehnungen endlich. Bei versetzungsfreien oder nahezu freien Kristallen werden die Scherspannungen und -dehnungen nicht durch eine makroskopische Streckgrenze (0,1–1 GPa), sondern durch die theoretische Festigkeit begrenzt, die ein bis zwei Größenordnungen größer ist. Beispielsweise weist Diamant (das härteste Material) mit einer Größe von wenigen Mikrometern in einem Diamantamboss unter einem Druck von 300 GPa eine normale Dehnung von 0,1556,57 auf. Die elastische Energie vierter Ordnung wurde zur Modellierung des Verhaltens von Diamantambossen21 verwendet, und die elastische Energie dritter Ordnung für Wolfram wurde als Teil des Gesamtsystems partieller Differentialgleichungen der Kontinuumsmechanik für große elastoplastische Verformungen unter Druck bis zu 400 GPa verwendet. Es wurde gezeigt, dass die elastischen Konstanten höherer Ordnung die Ergebnisse von FEM-Lösungen erheblich beeinflussen, und ihre Werte wurden durch Anpassung an die Versuchsfelder verfeinert. Die charakteristische Größe der Diamant- und Wolframprobe beträgt mehrere mm, dh MD-Simulationen können dieses Problem nicht behandeln. Dennoch erreichten die äquivalenten Spannungen im Diamantamboss unter den gleichen biaxialen seitlichen Spannungen 0,43 der theoretischen Festigkeit, was bedeutet, dass der Diamant frei von Nanorissen und anderen starken Spannungskonzentratoren war.

In ähnlicher Weise wird die Elastizität dritter Ordnung verwendet, um die Ausbreitung von Stoßwellen in makroskopischen Proben zu modellieren22,23. Große elastische Dehnungen können auch in anderen (nahezu) defektfreien Kristallen und Nanoregionen einer makroskopischen Probe, die frei von Defekten sind, an kohärenten Matrix-Ausscheidungs-Grenzflächen mit großer Fehlanpassungsdehnung usw. erreicht werden.

In den Phasenfeldmodellen wird die nichtlineare Elastizität durch elastische Energie in Form von elastischen Spannungen beschrieben, und inelastische Prozesse (wie die Entstehung und Bewegung von Versetzungen, Zwillingen und Rissen sowie Phasenumwandlungen) werden durch interne Variablen, sogenannte Ordnungsparameter, beschrieben43. 47,48. Da Materialinstabilität und Erweichung in den Modellen eine Rolle spielen (für die Elastizität zweiter oder höherer Ordnung), was zu einer falsch gestellten Problemformulierung und Dehnungslokalisierung führt, wird Gradientenenergie eingeführt, um das Problem zu regulieren und eine charakteristische Größe für die lokalisierten Dehnungsbereiche anzugeben . Bei mehrphasigen Materialien wird die elastische Energie (und alle anderen Materialeigenschaften) für jede Phase unabhängig definiert und dann mithilfe von Ordnungsparametern zwischen den Phasen interpoliert. Bei Versetzungen, Zwillingen und Rissen, die durch die entsprechenden Ordnungsparameter43,58,59,60 beschrieben werden, erfolgt die Defektkeimbildung im Nanomaßstab bei Erreichen der theoretischen Scher- und Zugfestigkeit, dh bei großen elastischen Dehnungen. Während die Theorie für Energien höherer Ordnung entwickelt wird, wird aufgrund des Mangels an zuverlässigen Daten derzeit die Elastizität zweiter Ordnung verwendet47,48,59,60,61. Die Nutzung der in der aktuellen Arbeit entwickelten elastischen Energie höherer Ordnung wird Phasenfeldmodelle für Phasenumwandlungen, Versetzungen und Brüche sowie deren Wechselwirkung erheblich verbessern. Wie in der Arbeit gezeigt wird, reproduziert unsere Energie DFT-Ergebnisse gut und ist daher viel besser als alle MD-Ergebnisse, die auf einem klassischen interatomaren Potential basieren. Gleichzeitig ist die Verwendung analytischer Ausdrücke für elastische Energie und Spannungen für komplexe Kontinuumssimulationen im großen Maßstab und über einen langen Zeitraum um Größenordnungen schneller als bei allen atomistischen Simulationen.

Für Si I gibt es Hunderte von Veröffentlichungen zu Experimenten und Kontinuumsmodellierung von Nano- und Mikroindentation, Verformung von Nano- und Mikrokugeln und Mikrosäulen, Verwendung von Si-Substrat für epitaktisches Kristallwachstum mit großer Fehlanpassungsspannung, Oberflächenbearbeitung (Polieren, Kratzen, Schneiden). usw.) sowie Kompression und Torsion in Diamantambossen und rotierenden Diamantambossen. Das Druck-/Spannungsniveau in diesen Prozessen übersteigt 10 GPa, die Spannungen sind endlich und die Spannungen erreichen die theoretische Stärke für die Entstehung von Versetzungen oder Rissen. Daher sollte die Nutzung der in der Arbeit gefundenen nichtlinearen elastischen Energie die Genauigkeit der Kontinuumsmodellierung erheblich erhöhen. Atomistische Simulationen können solch große Proben und tatsächliche Prozesszeiten nicht verarbeiten.

Darüber hinaus beziehen sich unsere jüngsten Ergebnisse zur Untersuchung der Gitterinstabilität und Phasentransformation Si I → Si II für heterogene Störungen und Felder61 vollständig auf nichtlineare Elastizitäts- und Kontinuumssimulationen. Tatsächlich sind die Ergebnisse bei kleinen Proben, die durch atomistische Simulationen behandelt werden können, normalerweise größenabhängig.

Eine ähnliche elastische Energie kann für andere Phasen von Si bestimmt werden, z. B. Si II, III, IX, XII und amorph. Aufgrund der geringeren Symmetrie, z. B. von Si II, müssen mehr elastische Konstanten bestimmt werden, dies ist jedoch machbar. Die elastische Instabilität von Si II im Normalspannungsraum auf dem Weg zu Si I wurde in Lit. bestimmt. 10. Im Experiment wandelt sich Si II jedoch bei langsamer Entladung viel früher in Si XII oder bei schneller Dekompression in Si IX oder amorphes Si um32. Daher sollten andere Arten von elastischen und Phononeninstabilitäten untersucht werden, um die Realität der Transformation von Si II zu beschreiben.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die elastische Energie fünften Grades für Si I unter großer Dehnung, einschließlich Instabilitätspunkten, anhand von Lagrange-Dehnungen ermittelt wurde, indem der Fehler im Vergleich zu DFT-Ergebnissen minimiert wurde. Elastische Energie und echte Spannungs-Dehnungs-Kurven für beliebige komplexe Belastungen (einschließlich elastischer Instabilität) reproduzieren DFT-Ergebnisse sehr gut. Es wurde festgestellt, dass die Phasenübergangsbedingungen für Si I → Si II unter drei normalen kubischen Spannungen bei echten Spannungen linear sind, was perfekt mit der DFT übereinstimmt. Energien niedrigerer Ordnung (weniger als fünfter Grad) können keine ähnliche Genauigkeit bei der Beschreibung von elastischen Instabilitäten und Spannungs-Dehnungs-Kurven erreichen, wohingegen sie derzeit hauptsächlich mithilfe von elastischen Konstanten dritter Ordnung ermittelt werden, die bei kleinen Dehnungen bestimmt werden. Unsere Ergebnisse zeigen auch das Potenzial der Steuerung der Spannungs-Dehnungs-Kurven und Phasenübergänge durch Anwendung optimierter, mehrdimensionaler Belastungen, um gewünschte Eigenschaften zu steuern und den Phasenübergangsdruck drastisch zu reduzieren (1–2 Größenordnungen)10,17,31,62.

Die elastische Energie ist nicht nur allgemein anwendbar, sondern enthält auch in praktischer analytischer Form eine Fülle von Informationen und ermöglicht nun eine direkte Kontinuumsstudie aller elastischen Instabilitäten unter komplexer Belastung, die verschiedene Phasenübergänge (Allotropie und Amorphisierung), Bruch, Gleiten und Zwillingsbildung antreiben. Die Verwendung von Energien höherer Ordnung und großen Spannungen, die Instabilitäten beinhalten, führt zu qualitativ und quantitativ besseren Vorhersagemöglichkeiten und verbessert die gesamten kontinuumsmodellbasierten Simulationen, die viel schneller sind als DFT und Molekulardynamik. Insbesondere stellt unser Ansatz eine grundlegend neue Grundlage für Kontinuumssimulationen des Kristallverhaltens unter extremen statischen und dynamischen Belastungen dar, die mehrere der oben genannten richtungsabhängigen Mechanismen umfassen. Insbesondere ist eine Elastizität höherer Ordnung für die Bestimmung der Spannungs-Dehnungs-Zustände und die Optimierung der Diamantstempelzelle zum Erreichen maximal möglicher Drücke erforderlich21. Dieser Ansatz ist allgemein und wird Phasenfeldmodelle für Phasentransformationen im Gegensatz zur derzeit verwendeten Elastizität zweiter Ordnung erheblich verbessern47,48,61. Es bietet auch eine Grundlage für die Beschreibung des Wettbewerbs zwischen verschiedenen Instabilitäten bei unterschiedlichen Belastungen.

Wir verwendeten DFT, wie es in VASP38,39,40 implementiert ist, mit der Projektor-Augmented-Waves-(PAW)-Basis63,64 und der PBE-Austauschkorrelationsfunktion65. Das PAW-PBE-Pseudopotential von Si hatte 4 Valenzelektronen (s2p2) und einen Grenzradius von 1,9 Å. Der Energiegrenzwert für ebene Wellen (ENCUT) betrug 306,7 eV, während der Grenzenergiewert für die Darstellung der Augmentationsladungen in ebenen Wellen (ENAUG) 322,1 eV betrug. Zur Minimierung der elektronischen Energie verwendeten wir ein Davidson-Blockiterationsschema (IALGO = 38). Die elektronische Struktur wurde mit einer festen Anzahl von Bändern (NBANDS = 16) in einer tetragonalen 4-Atom-Elementarzelle (einer Superzelle einer 2-Atom-Primitivzelle) berechnet. Brillouin-Zonenintegrationen wurden im k-Raum (LREAL = FALSE) unter Verwendung eines Γ-zentrierten Monkhorst-Pack-Netzes66 mit 55–110 k-Punkten pro Å−1 durchgeführt (weniger während der Atomrelaxation, mehr für die endgültige Energieberechnung). Eine beschleunigte Konvergenz der selbstkonsistenten Berechnungen wurde mithilfe einer modifizierten Broyden-Methode67 erreicht.

Atomrelaxation und Energieminimierung in einer Elementarzelle (ISIF = 2), fixiert durch die verschiedenen vorgeschriebenen Werte der Komponenten des Deformationsgradiententensors Fij (für mehr als 104 verschiedene Kombinationen von Fij und entsprechendem Eij), wurden unter Verwendung des konjugierten Gradientenalgorithmus durchgeführt ( IBRION = 2), was eine Symmetriebrechung ermöglicht (ISYM = 0). Der Transformationspfad wurde durch Nudged-Elastic-Band-Berechnungen (NEB) bestätigt, die mit dem C2NEB-Code68 durchgeführt wurden. Wir verwendeten DFT-Kräfte in der Ab-initio-Molekulardynamik (MD), um die Stabilität der entspannten Atomstrukturen zu überprüfen. Es wurde angenommen, dass Si-Atome eine Masse POMASS = 28,085 Atommasseneinheiten (amu) haben. Der Zeitschritt für die Atombewegung wurde auf POTIM = 0,5 fs eingestellt.

DFT-Codes, einschließlich VASP, geben Energie normalerweise mit ziemlich hoher Präzision zurück, weisen jedoch größere Fehler bei Spannungskomponenten auf, die mit dem Hellmann-Feynman-Theorem69 innerhalb einer weniger präzisen linearen Antwortmethode berechnet werden. Wir haben dieses Problem vermieden, indem wir die Energie gegenüber der Verformung auf einem Gitter berechnet und ausschließlich endliche Differenzen verwendet haben, um Ableitungen der Energie in Bezug auf Verformungs- und Spannungskomponenten zu ermitteln.

Als Beispiel für die Konvergenz versus Plane-Wave-Energy-Cutoff (ENCUT) für die Struktur mit a = b = 4,1279 Å und c = 4,4638 Å, die als Spannungsbarriere unter einachsiger Belastung bei σ1 = σ2 = 0 identifiziert wurde, haben wir a = b festgelegt , variierte c um ±1 %, erhielt die endliche Differenzenableitung der Energie dE/dc ≈ [E(c + δ) − E(c − δ)]/[2δ] und zeichnete σ3 gegen ENCUT (Ecut) in Abb. auf 6. Der gewählte Energiegrenzwert für ebene Wellen von 306,7 eV reicht aus, um eine Konvergenz innerhalb von ±0,1 GPa (1 kBar) für die von uns verwendete Finite-Differenzen-Methode zu erreichen. Die konvergierten DFT-Daten enthielten über 104 Einträge und wurden in dem in Tabelle 3 in Lit. aufgeführten Format verarbeitet. 70.

Wir verwenden ausschließlich die endlichen Differenzen. Der gewählte Energiegrenzwert von 306,7 eV (vertikale gestrichelte grüne Linie) reicht aus, um innerhalb der Finite-Differenzen-Berechnungen eine Konvergenz innerhalb von ±0,1 GPa (horizontale gestrichelte Linien) zu erreichen.

Die Elementarzellen in den DFT-Simulationen enthielten 4 Atome und waren entlang \({A}^{* }=\left\langle 110\right\rangle\), \({B}^{* }=\left\langle\) ausgerichtet 1\bar{1}0\right\rangle\) und \({C}^{* }=\left\langle 001\right\rangle\). Die Transformationsmatrix zum Transformieren des aktuellen Simulationskoordinatensystems in die natürliche kubische Zelle mit 8 Atomen, ausgerichtet entlang \(A=\left\langle 100\right\rangle\), \(B=\left\langle 010\right\rangle \), und \(C=\left\langle 001\right\rangle\), ist:

Die Transformationsformeln des Verformungsgradienten und der Cauchy- und zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen (PK2) in das natürliche kubische Koordinatensystem lauten

Das Verfahren zur Parameteridentifizierung wird durchgeführt und die Ergebnisse werden im natürlichen kubischen Koordinatensystem dargestellt.

Datensätze für alle Zahlen und alle Rohdaten aus DFT-Simulationen sind unter https://doi.org/10.25380/iastate.12668843 verfügbar.

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Schlüssellabor für Drucksysteme und Sicherheit, Bildungsministerium, Fakultät für Maschinenbau und Energietechnik, East China University of Science and Technology, Shanghai, 200237, China

Hao Chen & Xiancheng Zhang

Ames Laboratory, US-Energieministerium, Iowa State University, Ames, IA, 50011-3020, USA

Nikolai A. Zarkevich, Valery I. Levitas und Duane D. Johnson

Abteilung für Luft- und Raumfahrttechnik, Iowa State University, Ames, IA, 50011, USA

Valery I. Levitas

Fakultät für Maschinenbau, Iowa State University, Ames, IA, 50011, USA

Valery I. Levitas

Abteilung für Materialwissenschaft und Werkstofftechnik, Iowa State University, Ames, IA, 50011, USA

Duane D. Johnson

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HC entwickelte das elastische Potential fünfter Ordnung und führte die gesamte Nachbearbeitung der DFT-Simulationen durch, um alle elastischen Konstanten, Spannungs-Dehnungs-Kurven und Instabilitätsbedingungen zu erhalten. NAZ führte alle DFT-Simulationen durch. VIL entwarf die Forschung und überwachte die HC-Arbeit. DDJ überwachte die NAZ-Arbeit. Alle Autoren beteiligten sich an der Analyse sowie am Verfassen und Bearbeiten des Artikels.

Korrespondenz mit Hao Chen, Valery I. Levitas oder Duane D. Johnson.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Anmerkung des Herausgebers Springer Nature bleibt hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten neutral.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Chen, H., Zarkevich, NA, Levitas, VI et al. Elastische Energie fünften Grades zur Vorhersage von Kontinuumsspannungs-Dehnungs-Beziehungen und elastischen Instabilitäten unter großer Dehnung und komplexer Belastung in Silizium. npj Comput Mater 6, 115 (2020). https://doi.org/10.1038/s41524-020-00382-8

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Eingegangen: 5. April 2020

Angenommen: 02. Juli 2020

Veröffentlicht: 04. August 2020

DOI: https://doi.org/10.1038/s41524-020-00382-8

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